定理内容

每个大于 $1$ 的自然数，要么本身就是质数，要么可以写成 $2$ 个或以上的质数的乘积，而且这个乘积经过排序后仅有一种。

证明

存在性

假设存在大于 $1$ 的自然数不能写成质数的乘积，那么我们将这一类自然数中最小的那个设为 $n$ 。
按照一个数的可除性，我们可以将数字分为三类：质数、合数、$1$。
因为定义，$n$ 大于1，所有 $n$ 必定属于质数或者合数。
其次，$n$ 定然不是质数，因为任意质数 $P$ 可以写成质数的乘积，即 $P=P$ 与假设相矛盾。所以，$n$ 只能是合数。
因为每个合数都可以写成两个严格小于自身且大于 $1$ 的数的乘积。
不妨设 $n=a\times b$，其中 $a,b$ 都是介于 $1$ 至 $n$ 之间的自然数。因为，$n$ 是大于 $1$ 的自然数而不能写成质数的乘积中最小的一个，所以 $a,b$ 都可以写成质数的乘积。
从而得出 $n=a \times b$ 可以写成质数的乘积。
这与假设相矛盾，因此大于 $1$ 的自然数必然可以写成质数的乘积。

唯一性

假设有大于 $1$ 的自然数可以以多种方式写成一个乘积，那么假设 $n$ 是其中最小的一个。
首先 $n$ 不是质数，因为质数的分解只有一种方法，即他的本身。所以将 $n$ 用两种方法写出 $n=p_1p_2p_3...p_r=q_1q_2q_3...q_s$。
根据定理，质数 $p_1|q_1q_2q_3$，所以在 $q_1q_2q_3\cdots q_s$ 中有一个能被 $p_1$ 整除，不妨为$q_1$。
但是，$q_1$ 也是质数，因此 $q_1=p_1$，所以比 $n$ 小的正整数 $n'=p_2p_3\cdots p_r$ 也可以写成 $q_2q_3\cdots q_s$。
这与 $n$ 的最小性矛盾，因此唯一性得证。