证明

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

证明过程如下：

1. 首先，我们假设 $k$ 为任意自然数，且公式对于 $k$ 成立，即：

$\sum_{i=1}^k i^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$

2. 然后，我们需要证明当 $k$ 增加到 $k+1$ 时，公式仍然成立。也就是说，我们要证明：

$\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \frac{(k+1)(k + 2)(2(k+1) + 1)}{6}$

3. 根据求和公式的定义，我们有：

$\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \sum_{i=1}^k i^2 + (k+1)^2$

4. 将假设的公式代入上式，得到：

$\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k+1)^2$

5. 接下来，我们对右边的表达式进行化简：

$\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k+1)^2}{6}$

$= \frac{(k+1)[k(2k + 1) + 6(k+1)]}{6}$

$= \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$

$= \frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$

6. 通过上述推导，我们证明了当 $k$ 增加到 $k+1$ 时，公式仍然成立。

因此，我们可以得出结论，对于任意自然数 $n$，前 $n$ 个自然数的平方和的通项公式为：

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

推导

但是如果在考场时你并不知道这个公式，你应该怎么得到这个公式呢？我们可以使用一个很流氓的方法。

首先我们需要知道 $\sum_{i=1}^n i^k$ 的通项公式最高次数为 $k+1$，这个证明起来很容易。

对于 $k=1$ 的情况，我们有：

$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$

这是一个二次多项式，其最高次数为 $2$，这符合 $k+1$ 的形式。

假设对于某个整数 $m$，$\sum_{i=1}^n i^m$ 的通项公式最高次数为 $m+1$，那么我们需要证明当 $k=m+1$ 时，$\sum_{i=1}^n i^{m+1}$ 的通项公式最高次数为 $m+2$。

我们可以通过构造一个 $m+2$ 次的多项式，并使用数学归纳法来证明这个多项式确实是 $\sum_{i=1}^n i^{m+1}$ 的通项公式。这个多项式的形式通常是：

$\sum_{i=1}^n i^{m+1} = a_{m+2}n^{m+2} + a_{m+1}n^{m+1} + \dots + a_1n + a_0$

其中 $a_{m+2}, a_{m+1}, \dots, a_1, a_0$ 是系数。

通过这种方式，我们可以证明对于任意的 $k$，$\sum_{i=1}^n i^k$ 的通项公式最高次数总是 $k+1$。这是因为每次我们增加 $k$ 的值，我们都在原有的多项式基础上增加一个更高次数的项。

所以我们可以假设：

$\sum_{i=1}^{n} i^2=A\cdot n^3+B\cdot n^2+C\cdot n+D$

将 $1,2,3,4$ 依次带入 $n$ 得到：

$\left\{\begin{matrix}A+B+C+D=1 \\8A+4B+2C+D=2 \\27A+9B+3C+D=14 \\64A+16B+4C+D=30 \end{matrix}\right.$

在将 $A,B,C,D$ 依次解出之后再进行因式分解就可以得到：

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$