有点意思的计数题，考虑把题目的条件分开列一下：

• $0\le a_{i,j}\le m$
• $a_{i,j}\lt a_{i,j+1}$
• $a_{i,j}\gt a_{i-1,j-1}$

因为同一行里需要满足元素递增，也就是元素互不相同，而且可以填入的数比空子多了一个，所以必然存在一个位置 $p$ 满足 $a_{i,p}+2=a_{i,p+1}$，而对于其他的位置都满足 $a_{i,j}+1=a_{i,j+1}$。

考虑把第 $i$ 行向左平移 $i-1$ 格，那么可以的到一个这样的图：

因为最后一条要求，所以每一个 $p_{i+1}$ 都应该在 $p_i$ 的左侧。

那么我们考虑把这样的计数转化成一个从 $(1,1)$ 走到 $(n+m,m)$ 的方案树，但是要求只能向下或者向左走而且不能碰到红线。

发现和卡特兰数有点像，因为 $(1,1)$ 必须要经过红线，那么考虑把起点直接关于红线对称就行了。

如果需要经过两侧的红线，那么就一次对称，很暴力的做法，直接容斥就行了。