考虑对于所有的加法操作都是全局的，那么可以打上一个懒标记记录，这样时间复杂度为 $O(1)$。

对于 $\operatorname{popcount}$，第一次操作的时候暴力修改，时间复杂度为 $O(n)$。接下来开一个桶，维护在 $\operatorname{popcount}$ 之后 $\log V$ 个元素在 $\operatorname{popcount}$ 之后对应的值和真实的值。对于以后的修改，只需要遍历这 $\log V$ 个桶修改其真实的值就可以了。

对于询问操作，在没有进行 $\operatorname{popcount}$ 的时候，直接返回真实值和懒标记的和。对于进行过 $\operatorname{popcount}$ 的数，考虑在桶中找出通过映射的值 $a_i$ 找出真实值。

对于区间加并非全局的情况，如果横跨整块那么处理与上面一样。对于散块的区间加，就有可能会破坏这个桶，那么考虑重新计算并且将整块标记为没有处理过 $\operatorname{popcount}$。