翻译的太屎了，考虑给一个形式化题意：

有一定概率向字符串后面添加 $\texttt{a}$ 或者 $\texttt{b}$，如果在添加之后字符串内 $\texttt{ab}$ 子序列数量超过 $k$，那么立刻定值操作。

求最后的字符串内字串 $\texttt{ab}$ 期望的数量。

设 $f_{i,j}$ 表示现在确定的前缀中一共放了 $i$ 个 $\texttt{a}$ 有 $j$ 个字串 $\texttt{a,b}$，在经过了一大堆操作停止之后整个串内含有的 $\texttt{ab}$ 的数量。

假设添加 $\texttt{a}$ 的概率为 $A$，反之的概率为 $B$，那么有转移方程：

$f_{i,j}=A\times f_{i+1,j}+B\times f_{i,i+j}$

发现有对于边界情况，如果 $i+j\ge k$ 那么只需要在放一个 $\texttt{b}$ 就可以了，但是仍然可能出现一直放 $\texttt{a}$ 不结束的情况，考虑推式子。

先说结论，对于 $i+j\ge k$ 的 $f_{i,j}=i+j+\dfrac{A}{B}$。

根据上面的转移有：

$f_{i,j}=A\times f_{i+1,j}+B\times f_{i,i+j}$

化简得到：

$f_{i,j}=A\times f_{i+1,j}+B\times (i+j)$

因为对于只要在放一个就会停止，所以显然有：

$f_{i,j}=f_{i+1,j}-1$

联立上面的式子，经过化简就得到了：

$f_{i,j}=i+j+\dfrac{A}{B}$

因为 $i+j$ 始终小于等于 $k$，所以使时间复杂度为 $O(k^2)$。

收获：对于有可能出现无线循环的东西，无非就是列方程然后消元，如果很麻烦就直接去高斯消元。